O que são derivadas e integrais?

O que são derivadas e integrais?

DERIVADAS

É necessário, em todo o cálculo matemático ter a noção teórica de cada tema no qual trabalhamos; isso porque; imaginemos que, para os estudantes até ao 12º ano a relevância destes conceitos acaba por ser desprezada visto que a prática, em termos reais é mais conclusiva que a própria teoria.
Mas, isso só funciona desde que tenhamos sempre presente um professor que auxilie o raciocínio.
A questão é: quando necessitar implementar ou criar alguma aplicação matemática o conhecimento teórico traduz a opção ou o método a adotar. Por ex: se devemos usar derivadas, limites, integrais, sistemas de equações para satisfação dos critérios físico/matemáticos do cálculo em causa.
Definição de derivadas:
Derivadas: por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função….
Derivadas (individual, obtida empiricamente): como o próprio nome indica “derivada” traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu origem, etc…
Assim a adoção deste segundo conceito pode levar a escolha certa do cálculo em causa, dependendo, da interpretação que lhe é atribuída.

Regras de derivação:

Derivadas essenciais:

Regra nº 1: (k’ = 0) – Derivada de uma constante:
Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).
Exemplo:
A derivada de uma constante (k) é sempre igual a 0.



Regra nº 2: (x’ = 1) – Derivada de x:

Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letra x.
Exemplo:
A derivada da variável (usualmente X) é sempre igual a 1.
Regra nº 3: (k . x’ = k) – Derivada de uma constante multiplicada por x:
A derivada da multiplicação entre uma constante e a variável x é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da multiplicação).

Exemplo:

A derivada de uma Constante vezes X é sempre igual a Constante.
Nota:  Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.



Regra nº 9: (k’ = 0) – Derivada da potência de base x:

Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decrescente sempre em -1 relativamente a potência inicial.
Exemplo:
A derivada da potencia de base X é sempre igual ao grau da potência inicial, multiplicado pela base cujo grau decresce em  -1 unidade.

FONTE: http://aprendermmatematica.blogspot.com.br/p/derivadas.html

Integrais

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

  1. Se  f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
  2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
  3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

   

   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é  x3+C, onde C é uma constante real.

 

 Propriedades das integrais indefinidas

    São imediatas as seguintes propriedades:

1ª.    , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª.   , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª.    , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

 

 Integração por substituição

Seja expressão

Através da substituição u=f(x) por u’ = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

,

admitindo que se conhece .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u’ ou u e du na integral dada.

Integrais

   INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

  • a é o limite inferior de integração;

  • b é o limite superior de integração;

  • f(x) é o integrando.

                Se  representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

 

 

               Se representa a área entre as curvas, para

 

http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php

 

 

Charlotte Marx

Campineira. 26 anos. Estudante de medicina. Autora e divulgadora do Cyber Séries. A escrita para mim é uma companheira da madrugada, a qual surpreendentemente assume o piano e me encanta com suas nuances. Inseparável da arte, esta só viva quando se pode voar e ser quem desejar. Sou viciada no que faço!Ler, por sua vez, é personificar o universo, é observar o amadurecimento de uma planta chamada vida. É amar veladamente o intracelular.

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